2 ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРІВ ФІЗИЧНОЇ ВЕЛИЧИНИ. ГІСТОГРАМА

2 Завдання до розділу № 2:

Необхідно првести обробку результатів багаторазових спостережень для отримання дійсного значення вимірювальної величини та оцінка випадкової похибки вимірювання. При вимірюванні фізичних величин було поведено n повторних вимірювань одного і того ж значення цієї величини. Початкові дані для розв’язання задачі №2 приведені в табл.2.

2.1. Провести обробку ряду свого варіанту в наступній послідовності:

Дати оцінку істинного значення результатів вимірювань.

Побудувати гістограму диференціальної функції розподілу результатів окремих вимірювань.

Встановити стандартну апроксимацію функції розподілу; перевірити її відповідність одержаній гістограмі з допомогою критерії Пірсона.

Визначити з довірчою вірогідністю межі похибок одного вимірювання і середнього арифметичного.



№

варіанту

Вимірю-вальна

ФВ х



Одиниці вимірювань



Довевери-тельна вероятність р



Кількість спостере

жень

Результати окремих спостережень



20

Частота

Гц

0.9

32

342

343

344

345

346

346

347



347

348

348

348

349

349

349



349

350

350

350

350

351

351



351

352

352

352

353

353

354



354

355

356

358



Таблиця 2.1. Обробка результатів спостережень.

2.2. Оцінка істинного значення результатів вимірювань.

З результатів спостережень складається варіаціонний ряд, тобто вони записуються в порядку збільшення з Амин до Амакс . Приблизно визначається числова характеристика типу розподілу експериментальних даних:



, (2.1)





де n – кількість спостережень,



— середнє аріфметичне результатів; (2.2)



— оценка дисперсії результатів (2.3)

окремих спостережень.



Розрахуємо середнє аріфметичне результатів, підставивши числові значення у формулу (2.2):



Розрахуємо дисперсії результатів окремих спостережень, підставивши числові значення у формулу (2.3):





Розрахуємо числова характеристику, підставивши отримані результати у формулу (2.1):



HYPER14HYPER15



Якщо , то за оцінку вимірювальної величини приймається

середнє аріфметичне результатів спостережень, тобто



(2.4)



Така оцінка є ефективною, состоятельною, незміщеною та результати спостережень належать до нормального закону розподілу:.

2.3. Побудова гістограми диференціальної функції розподілу результатів окремих вимірювань:

Зробивши оцінку істинного значення результатів вимірювань,

можемо знайти гистограму диференціальної функції розподілу результатів окремих вимірювань. Для знаходження гистограми експериментального розподілу з варіаціонного ряду результатів вимірювань складається варіаціонний ряд похибок окремих спостережень:

(2.5)

Діапозон похибок розбивається на к>5 рівних інтервалів, довжиною (2.6)

Для кожного інтервалу визначається середина інтервалу k , нижня kн та верхня kв межі:

(2.7)

Визначається вероятність (частота) та густина вероятності похибки в в межах кожногонтервалу:

(2.8)

де mk — кількість результатів, похибка яких входить в межи k- інтервалу;

n – загальне число спостережень.

Розрахуємо довжину інтервалів, підставивши початкові значення у формулу (2.6):





Для кожного інтервалу визначемо середина інтервалу k , нижню kн та верхню kв межу, підставивши числовві значення у формули (2.7):



Визначемо вероятність (частота) та густина вероятності похибки в в межах кожногонтервалу, використавши формули (2.8). Результати розрахунків зводимо в таблицю 2.2 та будуємо по ним гистограму експериментального розподілу похибок. Над кожним інтервалом будуємо прямокутник висотою, равною в прийнятому маштабі Рк . Середину вершин прямокутників образно “з’єднуємо“ плавною кривою так, щоб площа між кривою та осью абсцисс була равна сумі площ прямокутників .



k

Mk

Pk



342-345

4

0.031



345-348

7

0.055



348-351

11

0.086



351-354

7

0.055



354-357

2

0.016



Таблиця 2.2. Емпіричне розподілення.



Побудуємо гістограму диференціальної функції розподілу результатів окремих вимірювань (рис 2.1):



Рис. 2.1

(Гістограма диференціальної функції розподілу результатів окремих вимірювань.)



2.4. Встановимо стандартну апроксимацію функції розподілу; перевіримо її відповідність одержаній гістограмі з допомогою критерії Пірсона.



При встановленні математичної моделі эмперического розподіли виходять з гістограми статистичного розподілу. Маючи на увазі гістограму висувається гіпотеза про математичне моделювання, приймаємої як апроксимуюча.При великій кількості результатів вимірювань передшанувальним є критерії Пірсона. Ці критерії розроблені для перевірки гіпотези реальності розподілу.



Визначаємо клас теоретичної функції, яка є близкою зовнішно до експериментального розподілу :

У нашому випадку клас теоретичної функції є нормальний.

Аналітичний вигляд цієї функуії:



Перевіремо за допомогою критерія 2 , що теоретична фунуція найкраще описує експериментальний розподіл. Порівняємо эмперичні гистограми та гистограми з таким же числом інтервалів, побудованної на основі теоретичного розподілу. З теоретичного розподілу (прил. 3) знайдемо частоту появи похибок з числовим значенням , яке відповідає середині експериментального розподілу:



, (2.9)



де f(x) — диференціальна функція теоретичного розподілу.



Вичисляэмо меру разходження частот 2 :



(2.10)

Підставивши числові значення у формулу (2.10), отримаємо :



За допомогою прил. 4 для уровня значимості q1 = 0.02 та числа ступенів

свободи L ( L= k-3) визначаємо значення параметру , а потім значення для уровня значимості q2= 1- q1.

Отже L = 2, q2 = 0.98, тоді .

Запишемо умову, при якій гипотеза о відповідності розглядаємого теоретичного розподілу експериментальному виконується :



(2.11)



Отже

Вище зазначена умова виконується, тобто знайдений закон є вірним та може бути прийнятим в якості теоретичної моделі експериментального розподілу.



2.5. Визначимо з довірчою віроятністю межі похибок одного вимірювання і середнього арифметичного.



Результати окремих спостережень підкоряються нормальному закону розподілу. З цього слідує, що довірчий інтервал визначається у формі :



(2.12)



де t — коєфіцієнт, отриманий з розподілу Стьюдента в залежності від числа спостережень n та довірчою віроятністю p.



(2.13)



де - оцінка середнього квадратичного відхилення окремих вимірювань.

Підставимо числові значення у формулу (2.13) таотримамо:





Оцінка х математичного сподівання випадкової величини дещо відрізняється від . Якщо закон розподілу похибок нормальний, то можна вважати , що відхилення х від не перевищує:

(2.14)

де – середньоквадратичне відхилення значення х (від математичного сподівання ).

Значення (незміщена оцінка) дорівнює значенню (х).

Підставляючи це у вираз (2.14) отримаємо:



;



0.657,

тогда



РТС 4.043.020.ПЗ

РТС 3.031.019.ПЗ



7



Арк.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



РТС 4.043.020.ПЗ

РТС 3.031.019.ПЗ



8



Арк.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



РТС 4.043.020.ПЗ

РТС 3.031.019.ПЗ



9



Арк.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



РТС 4.043.020.ПЗ

РТС 3.031.019.ПЗ



10



Арк.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



РТС 4.043.020.ПЗ

РТС 3.031.019.ПЗ



11



Арк.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



РТС 4.043.020.ПЗ

РТС 3.031.019.ПЗ



12



Арк.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



РТС 4.043.020.ПЗ

РТС 3.031.019.ПЗ



13



Арк.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.