Частина 2

Аналіз стійкості лінійних неперервних стаціонарних систем

На малюнку зображена структурна схема системи радіоавтоматики, що стежить.



Задача 1.(1.3) Дослідити за допомогою критерія Гурвіця стійкісь системи з такими параметрами:

.3 HYPER14HYPER15



Знайти критичний коефіцієнт підсилення такої системи.

Розв’язання.

Знайдемо передатну функцію розімкненої системи:

, (1.1)

де .

Знайдемо передатну функцію замкненої системи:

MBED Equation.3 HYPER14HYPER15(1.2)

Запишемо характеристичний многочлен:

, (1.3)

де

(1.4)

Розрахуємо коефіцієнти :

(1.4)

Запишемо матрицю Гурвиця для даної системи:

(1.5)

Розрахуємо визначники Гурвиця:

(1.6)

Всі визначники Гурвиця – додатні. Це необхідна, але недостатня умова. Для полінома третього порядку необхідно, щоб . Перевіримо цю умову:

(1.7)

Робимо висновок про те, що система стійка. Розрахуємо критичний коефіцієнт підсилення. Для цього розв’яжемо рівняння :



Розкривши дужки та звівши подібні множники, отримаємо:

. (1.8)

Розв’яжемо це квадратне рівняння і знайдемо два корені

і .

Критичний коефіцієнт дорівнює:

. (1.9)

Задача 2.(2.2) Дослідити за допомогою критерія Михайлова стійкісь системи з такими параметрами:



Розв’язання.

Знайдемо коефіцієнт передачі розімкненої системи:

, (1.10)

де .

Тоді коефіцієнт передачі замкненої системи дорівнює:

,(1.11)

де

(1.12)

Характеристичний поліном запишеться:

. (1.13)

Замінимо оператор на і зробимо математичні перетворення:

.



Визначимо частоти, при яких годограф Михайлова перетинає дійсну вісь, використовуючи умову :

. (1.14)

(1.15)

Перевіримо чергування знаків в точках перетину з дійсною віссю:

1)

2)

Можна знайти частоту, при якій годограф Михайлова перетинає уявну вісь, виходячи з умови .

(1.16)

Розрахуємо значення уявної частини на частоті :

(1.17)

Так як знаки дійсної частини на частотах і чергуються, а уявна частина HYPER15 на частоті - додатня, то можна зробити висновок, що система стійка.

Критична частота дорівнює:

. (1.18)

Підставимо значення в і розв’яжемо рівняння відносно К.

. (1.19)

Задача 3.(3.1) Дослідити за допомогою критерія Найквіста стійкісь системи з такими параметрами:



Якщо система стійка, знайти запас стійкості за підсиленням.

Розв’язання.

Коефіцієнт передачі розімкненої системи дорівнює:

.

Замінимо оператор на і знайдемо критичні частоти з умови .

Критична частота дорівнюватиме:

. (1.20)

Розрахуємо значення дійсної частини на цій частоті:

.(1.21)

Система стійка. Знайдемо критичний коефіцієнт підсилення, розв’язуючи рівняння відносно К. Отримаємо:

. (1.22)

Знайдемо запас стійкості за підсиленням:

. (1.23)

Задача 4.(4.5). Для системи з параметрами:



побудувати ЛАЧХ і ЛФЧХ. Визначити, чи стійка система. Знайти графічно запаси стійкості за підсиленням та за фазою(графічно).

Розв’язання.

Побудуємо графіки ЛАЧХ і ЛФЧХ складових ланок, а потім сумарні графіки. Для зручності зробимо це на спільних координатних площинах.



Як бачимо по графіках ЛАЧХ і ЛФЧХ, система нестійка, так як не виконується необхідна і достатня умови стійкості, а саме: критична частота (на графіку ЛФЧХ) менша ніж частота зрізу (на графіку ЛАЧХ). Але система не є структурно нестійкою. Змінюючи її параметри, можливо домогтися стійкості.

Задача 5. Для системи з параметрами:



з використанням ЕОМ побудувати годограф. Визначити запаси стійкості за підсиленням та за фазою(графічно).

Розв’язання.

За допомогою пакету MathCAD побудуємо годограф заданої системи.



Робимо висновок, що система стійка, тому що годограф не охоплює точку (-1;0j). Знайдемо запаси за амплітудою і фазою.







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.