Аналогові сигнали та кола

Запис математичного виразу сигналу

Сигнал має такий вигляд:

Рисунок 1.1 – Досліджуваний сигнал

Запишемо цей сигнал, використовуючи одиничні функції:

(1.1)

Де під розуміємо одиночну функцію.

Для випадку періодичного матимемо такий графік:

Рисунок 1.2 – Періодичний досліджуваний сигнал

Отже, проаналізувавши цей графік можна записати математичний вираз для випадку періодичного сигналу, використавши вираз, що був отриманий вище, формулу (1.1), запишемо.

(1.2)

Запис сигнала через табличні функції

Для запису сигналу з врахуванням теореми запізнення скористаємося результатом, що був отриманий вище (1.1). Зробимо тотожні перетворення:

(1.3)

Вираз, що був отриманий вище можна використовувати для знаходження зображення по Лапласу. Враховуючи, що , запишемо:

(1.4)

Вираз (1.4) є зображенням по Лапласу функції, що задана рівнянням (1.3)

Спектральна щільність сигналу

Вище було отримано:



Для запису спектральної щільності заданого сигналу зробимо заміну змінної tion.3 HYPER14HYPER15, поклавши . Зробивши таку підстановку в (1.4), отримаємо

(1.5)

Вираз (1.5) є спектральною щільністю сигналу. Зробимо спрощення, що дозволять у майбутнім отримати більш пості вирази.

(1.6)

Визначення спектру сигналу

Для того, щоб перейти від спектральної щільності до амплітудного спектру, скористаємося формулою перехода:

(1.7)

Де: (1.8)

Зробивши цю заміну та скориставшись (1.7), запишемо:



Спростимо цей вираз, враховуючи (1.8):

(1.9)

Враховуючи, що , перепишемо формулу

(1.10)

Зробивши спрощення запишемо вираз для , використовуючи тригонометричні функції:

tion.3 HYPER14HYPER15 (1.11)

Враховуючи періодичність тригонометричних функції за аргументом , спростимо вираз та запишемо остаточний результат:

(1.12)



Формула (1.12) є кінцевою формулою для розрахунку комплексного спектра періодичного детермінованого сигналу. Скористаємося цією формулою для знаходження амплітудного та фазового спектра детермінованого сигналу.

Розрахунки проводяться щонайменше до тих пір, поки . Приведемо таблиці, де:

(1.13)

(1.14)

Де (1.13) – формула розрахунку амплітудного спектра, (1.14) – фазового спектра на основі комплексного спектра сигналу (1.12).

Особливої уваги заслуговує гармоніка , бо, як видно з (1.12), її не можна визначити безпосередньо. Для розрахунку скористаємося змістом :

(1.15)

Виходячи з цих роздумів, можна визначити , навіть не підраховуючи значення цього інтегралу. Таблица 1.

№



-



-0.203-0.318i



-2.138



-0.000+0.159i



1.571



-0.023-0.106i



-1.780



-0.000+0.080i



1.571



-8.106e-3-0.064i



-1.697



-0.000+0.053i



1.571



-4.136e-3-0.045i



-1.661



-0.000+0.040i



1.571



-2.502e-3-0.035i



-1.641



Ряд Фурье:



SMT4 HYPER14HYPER15

Побудуємо графіки амплітудного та фазового спектра, використовуючи данні таблиці 1.1:



Рисунок 1.3 - Амплітудний спектр



Рисунок 1.4 - Фазовий спектр



Синтез вхідного сигналу

Для того, щоб провести синтез вхідного сигналу використаємо формулу:

(1.17)

Враховуючи те, що uation.3 HYPER14HYPER15, а , можна переписати цю формулу, замінивши , де .

(1.18)

Так як нам відомі значення HYPER14HYPER15 та , використовуючи математичний пакет Mathcad, виконаємо синтез, привівши таблиці значення сигналів у точках розрахунку. Кількість точок оберемо виходячи з кількості гармонік, що були розраховані. Для точності розрахунків, кількість розрахункових точок має бути мінімум 4n, де n – це кількість гармонік, що були розраховані, виходячи з ширини спектру. Для нашого випадку це буде 36 розрахункових точок. Для більшої точності

Приведемо таблицю розрахунку синтезованого сигналу.



Таблиця 1.2

Побудуємо графіки функцій, що сумуються для полегшення аналізу та результатів.

Рисунок 1.6 – Синтез сигналу на вході

Для підтвердження отриманого на ЕОМ результату перевіримо одне значення ручним розрахунком:



Як бачимо, результати зiвпадають.



Комплексний коефіцієнт передачі. АЧХ і ФЧХ кола

Для заданого кола розрахуємо коефіцієнт передачі:



Коло :



Рис. 1.8



Тоді, коефіцієнт передачі дорівнює :

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, (1.19)

(1.10)

де , Провівши деякі математичні перетворення отримали:

;



Знайдемо використовуючи методику закорочення вхідних зажимів. Отримаємо:

(1.20)

(1.11)



А коефіцієнт передачі запишеться:

(1.22)

(1.13)

Користуючись формулою 1.19 знайдемо вирази для АЧХ і ФЧХ кола:

(1.23) (1.14)

(1.24)

Проведемо розрахунки і побудуємо графіки АЧХ і ФЧХ. Але :



Розрахуємо на частотах гармонік, тобто:

(1.25) (1.16)

Розрахуємо на частотах гармонік, тобто:

(1.26) (1.17)



Таблиця 1.4



k



, рад



0

1

0



1

0.847

-0.561



2

0.623

-0.899



3

0.469

-1.083



4

0.370

-1.192



5

0.303

-1.263



6

0.256

-1.312



7

0.222

-1.347



8

9

0.195

0.174

-1.374

-1.396



Зобразимо графік АЧХ та ФЧХ:



Рис. 1.9



Рис. 1.10



Часові характеристики кола.

Визначимо перехідну та імпульсну характеристики кола. Якщо враховувати, що маємо коло І порядку, тоді перехідна характеристика має вигляд :

, (1.27) (1.18)

де g(0) - початкове значення перехідної функції,

g() – значення перехідної функції коли t =>;

, - стала часу кола де , - коефіцієнт згасання кола.

Для нашого кола . Тоді:



(1.28) (1.19)

Імпульсна характеристика в загальному матиме вигляд:

(1.29) (1.20)

Продиференціюємо формулу (1.28) і підставимо в (1.29), отримаємо:

(1.30) (1.21)



Побудуємо графіки g(t) (рис. 1.11):



Рис. 1.11

Побудуємо графіки h(t) (рис. 1.12):



Рис. 1.12



Знайдення спектра на виході кола.

Як відомо, для обчислення відгуку кола частотним методом, необхідно знайти спектр сигналу на виході кола, а потім за допомогою перетворення Фур’є відновити сигнал на виході кола. Виконаємо ці розрахунки.

Таблиця 1.5



0

0

-



1

0.320

-2.699



2

0.099

0.672



3

0.051

-2.863



4

0.029

0.379



5

0.019

-2.960



6

0.014

0.259



7

0.010

-3.009



8

9

7.764e-3

6.174e-3

0.196

-3.037



Побудуємо графіки АЧХ та ФЧХ для вихідного сигналу.



Рис. 1.13 - Амплітудний спектр сигналу на виході кола



Рисунок 1.14 – Фазовий спектр сигналу на виході кола



Синтез сигнала на виході кола



Для синтезу сигналу побудуємо таблицю, аналогічно тої, що будувалася у пункті 1.6.

Таблиця 1.6



Рис. 1.15 – Вихідний сигнал

Визначити відгук кола часовим методом за допомогою інтегралу Дюамеля

Окрім частотного методу обчислення відгуку, використовують метод інтеграла Дюамеля. Існує 6 формул інтеграла Дюамеля. Та чи інша формула обирається в залежності від сигналу та перехідної чи імпульсної характеристики. Для досліджуваного кола оберемо таку формулу:

(1.31)

При інтегруванні сигналу та знаходженні відгуку інтервал сигналу розбивається на окремі інтервали, кількість яких визначається формою сигналу. Для досліджуваного сигналу цих інтервалів буде два: