Синтез передавальних функцій фільтрів нижніх частот

У даному розділі розглянутий синтез фільтрів нижніх частот (ФНЧ), призначення яких з мінімальним ослабленням передавати коливання, частоти яких не перевершують заданої граничної частоти, званою частотою зрізу фільтру. В той же час коливання з більш високими частотами повинні істотно пригнічуватися.

Для ФНЧ з частотою зрізу ідеальна амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) має вигляд, показаний на рис. 1, де K(j() -комплексний коефіцієнт передачі по напрузі.





(1.1)



Рис. 1. Ідеальна АЧХ.



При цьому на форму фазочастотної характеристики ніяких обмежень не накладається.

Ідеальна АЧХ відповідно до теореми Випалини-Вінера фізично нереалізовувана [2, c. I93]. Тому ідеальну АЧХ апроксимують такою функцією, яка належить фізично реалізовуваному ланцюгу.

У радіотехніці найбільше поширення набули два способи апроксимації - Батерворса і Чебишева.

1.1 Синтез передавальних функцій фільтрів нижніх частот за допомогою апроксимації Батерворса

Один з можливих способів апроксимації ідеальної частотної характеристики ФНЧ побудований на використовуванні коефіцієнта передачі потужності



, (1.2)





де н = /c - безрозмірна нормована частота. Коефіцієнт передачі потужності є квадратом модуля комплексного коефіцієнта передачі по напрузі, тобто Кp()= К*(j)K(j).



Ціле число n=1,2,3... називається порядком фільтру. При будь-кому n, фільтр з коефіцієнтом передачі потужності (1.2) реалізовуваний [2].

Знайдемо порядок фільтру Батерворса:

(1.3)





Найближче більше ціле число n=12.

Для синтезу структури ланцюга необхідно від коефіцієнта передачі потужності, заданого у формі (1.2), перейти до передавальної функції K(р). З цією метою введемо нормовану комплексну змінну pн = н + jн і запишемо (1.2) так :



Kp(pн) = K(pн) K(-pн) = A12/ [1+(-1)npн2n]. (1.4)

З (1.4) видно, що функція Kp(pн) на площіні комплексной змінной pн має 2n полюсів, які є кореннями рівняння

1 + (-1)npн2n = 0. (1.5)



Розвязавши це рівняння ми отримаємо 2n=24 корнів:



Тепер скористаємося тим, що полюси коефіцієнта передачі потужності мають квадрантну симетрії, тобто їх число і конфігурація розташування в обох напівплощинах однакові. Це дозволяє вважати, що тільки ті полюси, які розташовані в лівій напівплощині, відповідають фільтру, що синтезується. Їх "дзеркальні копії" а правій напівплощині відповідають функції K(-р) і ми їх відкинемо.

Отже будемо мати:



Отже передавальна функція буде мати наступний вигляд:



1.2 Синтез передаточних функцій, використовуючи апроксимації

Чебишева.

Отримаємо з виразу для необхідної величини коефіцієнта нерівномірності , враховуючи , що .DSMT4 HYPER14HYPER15 задають у дБ.



Порядок фільтру Чебишева знайдемо виходячи з заданого рівня сигналу за межами смуги пропускання .



Визначимо полюси коефіцієнта передачі за потужністю. Знайдемо параметр MBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15

Тепер знайдемо полюси передавальної функції фільтру Батерворса того ж порядку і з тією ж частотою зрізу і виділимо лише ті, що знаходяться в лівій частині одиночного кола:



Перейдемо до фільтру Чебишева, для цього абсцису кожного полюсу фільтру Баттерворса помножимо на sh (a), а ординату на ch (a).



Тепер знайдемо їх оординати:



Запишимо знайдені полюси:

quation.DSMT4 HYPER14HYPER15

Отже передавальна функція буде мати наступний вигляд:



Синтез принципової схеми фільтру

Для цього може бути використаний підхід на основі так званого структурного синтезу, коли ланцюг з передавальною функцією K(p) утворюється шляхом послідовного (каскадного) включення деякого числа ланок з передавальними функціями Кi(р), i =1,.m - число ланок (рис.2).



Вхід Вихід





Рис. 2.1. Послідовне з’єднання ланок.

Для структури на рис. 2, очевидно, має місце



(2.1)

і

(2.2)



Отже, передавальні функції Кi(р), i =1,.m повинні бути такими, щоб їх перемноження давало необхідну передавальну функцію K(p) або, іншими словами, щоб вони могли реалізувати полюси функції K(p), які були визначені раніше на етапі апроксимації.



2.1 Синтез фільтру Батерворса

Так як у нас n=12 парне, то тоді m=n/2=6. Це означає, що для синтезу ФНЧ будемо використовувати шість ланок другого порядку.

Запишимо коефіцієнт передачі у вигляді:





Всі ланки фільтра можна реалізувати за допомогою активних ФHЧ другого порядку на основі операційних підсилювачів.



Рис. 2.2. Структура схеми ФНЧ другого порядку

Реалізуємо ці ланки фільтру.

Запишимо її коефіцієнт передачі у вигляді:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)



Знайдемо параметри 1 ланки:

Нехай, , . З умови (2.5) випливає, що , а , отже См.

Тоді знайдемо останні елементи

Прирівнюючи речовинні частини виразів (2.4) і (2.6), одержуємо формулу для визначення ємності конденсатора C2 :

нФ

Щоб знайти місткість конденсатора С5, слід прирівняти уявні частини виразів (2.4) і (2.6):

нФ

Знайдем параметри 2 ланки:

Нехай, , . З умови (2.5) випливає, що , а , отже См.

Тоді знайдемо останні елементи

Прирівнюючи речовинні частини виразів (2.4) і (2.6), одержуємо формулу для визначення ємності конденсатора C2 :

нФ

Щоб знайти місткість конденсатора С5, слід прирівняти уявні частини виразів (2.4) і (2.6):

нФ

Знайдем параметри 3 ланки:

Нехай, , . З умови (2.5) випливає, що , а , отже См.

Тоді знайдемо останні елементи



Прирівнюючи речовинні частини виразів (2.4) і (2.6), одержуємо формулу для визначення ємності конденсатора C2 :

нФ

Щоб знайти місткість конденсатора С5, слід прирівняти уявні частини виразів (2.4) і (2.6):

нФ

Знайдем параметри 4 ланки:

Нехай, , . З умови (2.5) випливає, що , а , отже См.

Тоді знайдемо останні елементи

Прирівнюючи речовинні частини виразів (2.4) і (2.6), одержуємо формулу для визначення ємності конденсатора C2 :

нФ

Щоб знайти місткість конденсатора С5, слід прирівняти уявні частини виразів (2.4) і (2.6):

нФ



Знайдем параметри 5 ланки:

Нехай, , . З умови (2.5) випливає, що Ом , а , отже См.

Тоді знайдемо останні елементи

Прирівнюючи речовинні частини виразів (2.4) і (2.6), одержуємо формулу для визначення ємності конденсатора C2 :

нФ



Щоб знайти місткість конденсатора С5, слід прирівняти уявні частини виразів (2.4) і (2.6):

нФ

Знайдем параметри 6 ланки:

Нехай, , . З умови (2.5) випливає, що , а , отже См.

Тоді знайдемо останні елементи

Прирівнюючи речовинні частини виразів (2.4) і (2.6), одержуємо формулу для визначення ємності конденсатора C2 :

нФ

Щоб знайти місткість конденсатора С5, слід прирівняти уявні частини виразів (2.4) і (2.6):

нФ

Приведемо синтезовану схему ФНЧ Батерворса:



Рис. 2.3 ФНЧ

За допомогою Circuit Maker 6 Pro побудуємо АЧХ цього фільтру.



Рис. 2.4 АЧХ фільтру





Змн.



Арк.



№ докум.



Підпис



Дата



Арк.



РТС 3.051.021 ПЗ



РТС 3.051.021 ПЗ







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



РТС 3.051.021 ПЗ







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



Km(p)



K2(p)



K1(p)



РТС 3.051.021 ПЗ







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



РТС 3.051.021 ПЗ







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



Змн.



Арк.



№ докум.



Підпис



Дата



Арк.



11



РТС 3.031.013 ПЗ



РТС 3.051.021 ПЗ







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



Змн.



Арк.



№ докум.



Підпис



Дата



Арк.



5



РТС 3.051.021 ПЗ



РТС 3.051.021 ПЗ







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



РТС 3.051.021 ПЗ







Лист.



Дата



Підпис



№ докум.



Арк.



Змн.



РТС 3.051.021 ПЗ







Лист.



Дата