Частина 1

Аналіз стійкості лінійних неперервних

стаціонарних систем

На рисунку показана структурна схема системи радіоавтоматики, що стежить.



Задача 1.(1.2) Дослідити за допомогою критерія Гурвіця стійкісь системи з такими параметрами:

3 HYPER14HYPER15



Знай ти критичний коефіцієнт підсилення такої системи.

Розв’язання.

Знайдемо передатну функцію розімкненої системи:

, (1.1)

де .

Знайдемо передатну функцію замкненої системи:

(1.2)

Запишемо характеристичний многочлен:

, (1.3)

де

(1.4)

Розрахуємо коефіцієнти :

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (1.5)

Запишемо матрицю Гурвиця для даної системи:

(1.6)

Розрахуємо визначники Гурвиця:

(1.7)

Всі визначники Гурвиця – додатні. Робимо висновок про те, що система стійка.



Розрахуємо критичний коефіцієнт підсилення. Для цього розв’яжемо рівняння :



Задача 2.(2.1) Дослідити за допомогою критерія Михайлова стійкісь системи з такими параметрами:

D Equation.3 HYPER14HYPER15



Розв’язання.

Знайдемо коефіцієнт передачі розімкненої системи:

, (1.11)

де .

Тоді коефіцієнт передачі замкненої системи дорівнює:

, (1.12)

де

(1.13)

Характеристичний поліном запишеться:

. (1.14)

Замінимо оператор на і зробимо математичні перетворення:

.

Визначимо частоти, при яких годограф Михайлова перетинає дійсну вісь, використовуючи умову :

. (1.15)

(1.16)

Перевіримо чергування знаків в точках перетину з дійсною віссю:

1)

2)

Можна знайти частоту, при якій годограф Михайлова перетинає уявну вісь, виходячи з умови .

(1.17)

Розрахуємо значення уявної частини на частоті :

uation.3 HYPER14HYPER15 (1.18)

Так як знаки дійсної частини на частотах і чергуються, а уявна частина на частоті - додатня, то можна зробити висновок, що система стійка.

Критична частота дорівнює:

. (1.19)

Підставимо значення в і розв’яжемо рівняння відносно К.

. (1.20)



Задача 3.(3.5) Дослідити за допомогою критерія Найквіста стійкісь системи з такими параметрами:



Якщо система стійка, знайти запас стійкості за підсиленням.

Розв’язання.

Коефіцієнт передачі розімкненої системи дорівнює:

.

Замінимо оператор на і знайдемо критичні частоти з умови .



Знайдемо критичну частоту:

. (1.21)

Критчної частоти не існує. Звідси робимо висновок, що система нестійка (Годограф не перетинає дійсну вісь).



Задача 4.(4.4). Для системи з параметрами:



побудувати ЛАЧХ і ЛФЧХ. Визначити, чи стійка система. Знайти графічно запаси стійкості за підсиленням та за фазою(графічно).

Розв’язання.

Побудуємо графіки ЛАЧХ і ЛФЧХ за допомогою пакету MathCAD



З графіків видно, що система стійка.

Запас стійкості по підсиленню:

Запас стійкості по фазі:

Задача 5.(5.3) Для системи з параметрами:



з використанням ЕОМ побудувати годограф. Визначити запаси стійкості за підсиленням та за фазою(графічно).

Розв’язання.

За допомогою пакету MathCAD побудуємо годограф заданої системи.



Робимо висновок, що система стійка, тому що годограф не охоплює точку (-1;0j). Знайдемо запаси за підсиленням і фазою.

Запас стійкості за підсиленням -

Запас стійкості за фазою -