Аналіз стійкості лінійних безперервних стаціонарних систем.



Задача №1 (1 – 4).

Досліджувати за допомогою критерію Гурвіца стійкість системи з параметрами:

, , ,

ED Equation.3HYPER14HYPER15, , , , ,

Структурна схема приведена на рис.1.1.



Рішення.

Знайдемо передавальну функцію розімкненої системи:



.3HYPER14HYPER15,

де , , .

2. Визначимо передавальну функцію замкнутої системи:

.

3. Запишемо характеристичний поліном замкнутої системи:

.

4. Складемо матрицю Гурвіца .

5. Обчислимо визначників Гурвіца:,

, .

При система стійка при умові

при До > 0.

7. Визначимо критичний коефіцієнт посилення з рівняння:, , , оскільки, то система стійка.



Завдання 2.3 Досліджувати за допомогою критерію Міхайлова стійкість системи з наступними параметрами:



Визначити критичну частоту і критичний коефіцієнт посилення системи.

Рішення.

1. Знайдемо комплексний коефіцієнт передачі розімкненої системи:

.

Знайдемо комплексний коефіцієнт передачі замкнутої системи:

.

Знайдемо характеристичний поліном:

.

де ; ; ; .

Підставляючи значення параметрів, Расчитаєм коефіцієнти :

(1.4)

2. Визначимо частоти, на яких годограф Міхайлова перетинає дійсну вісь з умови

,



3. Обчислимо значення реальної частини на цих частотах:

;

4. Визначимо частоти, на яких годограф Міхайлова перетинає уявну вісь з умови

:

.

5. Обчислимо значення уявної частини на частоті :

.

Оскільки знаки реальної частини на частотах і чергуються, а уявна частина на частоті позитивна, то система стійка.

6. Визначимо критичну частоту з умови

;

.

7. Підставимо значення в і вирішимо це рівняння відносно До:

;



Задача №3 (3 – 2)

Досліджувати за допомогою критерію Найквіста стійкість системи з параметрами:

, , ,

; ; ; ; .

Рішення.

Визначимо комплексний коефіцієнт передачі розімкненої системи:



,

де, , , , .

Знайдемо критичну частоту з умови:

, , .

Обчислимо значення реальної частини на критичній частоті: .

Т. до. , то система стійка.

Підставивши значення в, вирішимо рівняння:, відносно і набудемо значення критичного коефіцієнта посилення: .

Обчислимо запас стійкості по амплітуді:



Задача 4.1. Для системи з наступними параметрами



побудувати ЛАЧХ і ЛФЧХ. Визначити, чи стійка система. Знайти запаси стійкості по посиленню і фазі (графічно).

Рішення:

1.Визначимо коефіцієнт передачі розімкненої системи:



Загальний вираз для АЧХ і ФЧХ системи має вигляд:

2.Знайдемо ЛАЧХ розімкненої системи:



Графік зображений на рис.2.2

3.Визначимо ЛФЧХ розімкненої системи:



Графік зображений на рис.2

Як видно з графіків , з чого виходить, що система стійка.

Визначимо запас стійкості по амплітуді. Для цього знайдемо значення ЛАЧХ на :

визначимо запас стійкості по фазі:







Рис.2.3.

Завдання 5.5. Для системи з ніжеперечисленнимі параметрами



побудувати годограф. Визначити запаси стійкості по посиленню і фазі (графічно).

Знайдемо АЧХ і ФЧХ розімкненої системи



За допомогою ЕОМ побудуємо годограф. Він зображений на рис.3

Рис.3

Оскільки годограф не охоплює крапку (-1;j0), то система стійка

Визначимо запаси стійкості по посиленню і по фазі





=



Ч



-



Ч



-



Ч



-



Ч



-



Ч



+



Ч



-



Ч



K



a



w



jw



1



a



w



a



w



w



1



a



w



(



)



(



)



2



2



3



2



2



2



2



2



3



2



2



)



(



)



(



)



(