2Анализ устойчивости линейных непрерывных стационарных систем



Задача №1 (1 – 2)

Исследовать с помощью критерия Гурвица устойчивость системы с параметрами:

, , ,

BED Equation.3HYPER14HYPER15; ; ; ;

Структурная схема приведена на рис.1.1.

Решение.

Найдём передаточную функцию разомкнутой системы:

,

где , , .

Определим передаточную функцию замкнутой системы: .

Запишем характеристический полином замкнутой системы .

Составим матрицу Гурвица ion.3HYPER14HYPER15.

Вычислим определители Гурвица: , , .

При система устойчива при условии при К > 0.

Определим критический коэффициент усиления из уравнения: D Equation.3HYPER14HYPER15, , , , т. к. , то система устойчива.



Задача №2 (2 – 3)

Исследовать с помощью критерия Михайлова устойчивость системы с параметрами. Определить ation.3HYPER14HYPER15 и .

, , ,

; ; ; ; BED Equation.3HYPER14HYPER15; ; .

Решение.

1. Найдём передаточную функцию разомкнутой системы:

.



Определим передаточную функцию замкнутой системы:



где , , , , .

Представим характеристический полином Михайлова в виде реальной и мнимой частей quation.3HYPER14HYPER15.

Найдём критические частоты из условия: , следовательно , , .

Проверим чередование знаков годографа в точках пересечения с реальной осью: , .

Найдём частоты, на которых годограф пересекает мнимую ось из условия: , .

Проверим чередование знаков годографа в точках пересечения с мнимой осью: . Т. к. знаки реальной части на критических частотах чередуются, а мнимая часть на частоте положительна, то система устойчива.

Определим из условия: ,

Подставим значения в и решим уравнение относительно :

,

,

т.к. то система устойчива.



Задача №3 (3 – 4)

Исследовать с помощью критерия Найквиста устойчивость системы с параметрами:

, , ,

; ; ; ; EMBED Equation.3HYPER14HYPER15; .

Решение.

Определим комплексный коэффициент передачи разомкнутой системы:







MBED Equation.3HYPER14HYPER15



,

где , , , .

Найдём критическую частоту из условия: , , , .

Вычислим значение реальной части на критической частоте: . Т. к. =-0.034> - 1, то система устойчива.

Подставив значение в , решим уравнение: , относительно и получим значение критического коэффициента усиления: .

Т. к. , то система устойчива.

Вычислим запас устойчивости по амплитуде:



Задача №4 (4 – 5)

Для системы с параметрами построить ЛАЧХ и ЛФЧХ. Определить, устойчива ли система. Найти запасы устойчивости по усилению и фазе (графически).

, , ,

; ; ; ; .

Решение.

1.Построим ЛАЧХ для первого звена: , ,



2.Построим ЛАЧХ для второго звена: ,

. Данное звено состоит из двух - форсирующего и интегрирующего, для которых ,



3.Построим ЛАЧХ для третьего звена: , ,



4. Построим суммарный график ЛАЧХ:

Для системы с данными параметрами частота среза .

5. Построим ЛФЧХ для первого звена:



6. Построим ЛФЧХ для второго звена: ,



7. Построим ЛФЧХ для третьего звена: ,

Построим суммарный график ЛФЧХ для заданной системы:



Из графика видно, что система неустойчива, т.к. на частоте среза ЛФЧХ <-1800 ,

система имеет две критические частоты и .



Задача №5 (5 – 1)

Для системы с параметрами построить годограф. Определить запасы устойчивости по усилению и фазе (графически).

, , ,

; ; ; ; ; .



Из графика видно, что ,