Технічне завдання

Математичний вираз для періодичного та не періодичного сигналів

Представлення сигналу через одиничні функції

Спектральна щільність сигналу

1.4 Амплітудний та фазовий спектр сигналу періодичного сигналу

1.5 Спектр неперіодичного сигналу

1.6 Синтез вхідного сигналу

1.7 Комплексний коефіцієнт передачі. АЧХ і ФЧХ кола

1.8 Часові характеристики кола.

1.9 Однозначність зв’язку між частотними та часовими характеристиками кола

1.10 Модуль і фаза вихідного сигналу

1.11.Синтез вихідного сигналу



1.1.Математичний вираз сигналу.

Запишу математичний вираз для поодинокого сигналу. Використовуючи одиничну функцію Хевісайда, маю:

. (1.1)

Або з допомогою кусочно-неперервних функцій:

(1.2)

Запишу математичний вираз для Т-періодичного сигналу такої ж форми:

(1.3)

Графік сигналу у випадку неперіодичного сигналу наведений на рис. 1.1, у випадку періодичного – на рис 1.2 .



Рис. 1.1



Рис. 1.2

1.2.Сигнал в просторі зображень.

Представимо поодинокий сигнал в просторі зображень по Лапласу. Для цього скористаємось таблицею зображень, властивістю лінійності, а також теоремою запізнення.

Запишемо зображення сигналу F(p):

(1.4)

Спостимо вираз , отримаємо:

(1.5)



1.3. Спектральна щільність сигналу.

Запишемо спектральну щільність S(j), використовуючи отриману формулу , а також зв’язок між перетвореннями Лапласа і Фур’є.

Тоді матимемо:

(1.6)

Спростимо даний вираз:

(1.7)

Спектральна щільність - комплексна величина. Так і повинно бути, адже даний сигнал є сигналом загального виду.



1.4. Амплітудний та фазовий спектр сигналу.

Використовуючи відоме співвідношення , де - комплексні коефіцієнти ряда Фур’є, знайдемо .

uation.3 HYPER14HYPER15 (1.8)

Виконаю заміну , враховуючи, що , , і - шпаруватість сигналу (згідно умови),

маємо:



(1.9)



вираз для комплексних коефіцієнтів ряду Фур’є. Перед тим, як складати таблицю для , знайдемо HYPER15 як середнє значення функції u(t) за період:

(1.10)



Тоді



.Складемо таблицю для , причому останню гармоніку в спектрі беремо на рівні 0.1 від гармоніки з максимальною амплітудою.

Проте при неможливо вирахувати, оскільки в з’являється невизначеність виду „0/0”. Скористаюся правилом Лапі таля:

(1.11)



При .DSMT4 HYPER14HYPER15

Складемо таблицю для амплітудного і фазового спектрів.



Таблиця 1.1



k

, В

, рад



0

0.318

0



1

0.3

-0.785



2

0.25

-1.571



3

0.18

-2.356



4

0.106

-3.142



5

0.043

2.356



6

0

1.571



Ряд Фурье:

BED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15



Побудуємо графіки амплітудного (рис. 1.3) і фазового(рис. 1.4) спектрів.



Графік амплітудного спектру.



Рис. 1.3



Графік фазового спектру.



Рис. 1.4



1.6. Синтез вхідного сигналу.

Проведемо синтез вхідного сигналу. Для цього візьмемо 40 точок (інтервалів, в даному випадку).Задамося часом, вираженим у градусах з інтервалом .

Розрахунки проводимо за формулою ряда Фур’є по косинусам:

(1.12)



Підсумуємо всі гармоніки за допомогою ЕОМ і відобразимо розрахунки в таблиці 1.3.

Таблиця 1.3

t град

1

2

3

4

5

6



0

0.212

0.000

-0.127

-0.106

-0.030

0

0.107



9

0.243

0.039

-0.106-0.105-0.03500.295180.2670.077-0.082-0.101-0.03800.538270.2850.113-0.056-0.095-0.04100.785360.2960.147-0.028-0.086-0.04200.970450.3000.1770.000-0.075-0.04301.038540.2960.2020.028-0.062-0.04200.970630.2850.2230.056-0.048-0.04100.785720.2670.2380.082-0.033-0.03800.538810.2430.2470.106-0.017-0.03500.295900.2120.2500.1270.000-0.03000.107990.1760.2470.1460.017-0.02508.950e-41080.1360.2380.1600.033-0.0190-0.0321170.0930.2230.1710.048-0.0130-0.0211260.0470.2020.1780.062-6.707e-302.456e-3135-1.194e-40.1770.1800.075-0.00000.015144-0.0470.1470.1780.0866.707e-300.011153-0.0930.1130.1710.0950.0130-4.832e-4162-0.1360.0770.1600.1010.0190-9.506e-3171-0.1760.0390.1460.1050.0250-9.275e-3180-0.2120.0000.1270.1060.0300-1.681e-3189-0.243-0.0390.1060.1050.03506.154e-3198-0.267-0.0770.0820.1010.03807.950e-3207-0.285-0.1130.0560.0950.04102.850e-3216-0.296-0.1470.0280.0860.0420-4.474e-3225-0.300-0.1770.0000.0750.0430-7.832e-3234-0.296-0.202-0.0280.0620.0420-4.437e-3243-0.285-0.223-0.0560.0480.04102.923e-3252-0.267-0.238-0.0820.0330.03808.058e-3261-0.243-0.247-0.1060.0170.03506.295e-3270-0.212-0.250-0.1270.0000.0300-1.512e-3279-0.176-0.247-0.146-0.0170.0250-9.082e-3288-0.136-0.238-0.160-0.0330.0190-9.294e-3297-0.093-0.223-0.171-0.0480.0130-2.560e-4306-0.047-0.202-0.178-0.0626.707e-300.0123151.194e-4-0.177-0.180-0.0750.00000.0153240.047-0.147-0.178-0.086-6.707e-302.692e-33330.093-0.113-0.171-0.095-0.0130-0.0203420.136-0.077-0.160-0.101-0.0190-0.0323510.176-0.039-0.146-0.105-0.02501.088e-33600.212-0.000-0.127-0.106-0.03000.107 Побудуємо графік синтезованого сигналу.



Рис. 1.6

На графіку штриховими лініями зображенні гармоніки.

Виконаю перевірку для випадку



1.7. Комплексний коефіцієнт передачі. АЧХ і ФЧХ кола.

Для заданого кола розрахуємо коефіцієнт передачі:



Коло :



Рис. 1.7



Тоді, коефіцієнт передачі дорівнює :

, (1.13)

де , . Провівши деякі математичні перетворення отримали:

;

Знайдемо використовуючи методику закорочення вхідних зажимів. Отримаємо:

(1.14)

А коефіцієнт передачі запишеться:

. (1.16)

Користуючись формулою 1.16 знайдемо вирази для АЧХ і ФЧХ кола:

(1.17)

(1.18)

Проведемо розрахунки і побудуємо графіки АЧХ і ФЧХ. Але :

ED Equation.3 HYPER14HYPER15

Розрахуємо на частотах гармонік, тобто:

(1.19)



Розрахуємо на частотах гармонік, тобто:

. (1.20)



Таблиця 1.4

K



, рад

k



, рад



0

1

0

4

0.032

-1.539



1

0.126

-1.444

5

0.025

-1.545



2

0.064

-1.507

6

0.021

-1.550



3

0.042

-1.528



Зобразимо графік АЧХ та ФЧХ:

Графік АЧХ має вигляд.



Рис. 1.8

Графік ФЧХ має вигляд.



Рис. 1.9



1.8. Часові характеристики кола.

Визначимо перехідну та імпульсну характеристики кола. Якщо враховувати, що маємо коло І порядку, тоді перехідна характеристика має вигляд :

, (1.21)

де g(0) - початкове значення перехідної функції,

g() – значення перехідної функції коли t =>;

Equation.3 HYPER14HYPER15, - стала часу кола де , - коефіцієнт згасання кола.

Для нашого кола . Тоді:

(1.22)

Імпульсна характеристика в загальному матиме вигляд:

. (1.23)

Продиференціюємо формулу (1.22) і підставимо в (1.23), отримаємо:

(1.24)

Побудуємо графіки g(t) (рис. 1.10):



Рис. 1.10

Побудуємо графіки h(t) (рис. 1.11):



Рис. 1.11

1.10. Модуль і фаза вихідного сигналу.

Нехай і - відповідно модуль і фаза вихідного сигналу. Як відомо:

, (1.25)

де і-відповідно амплітуди і фази вхідного сигналу,

і-значення модуля і фази коефіцієнта передачі на частотах гармонік.

Відобразимо розрахунки в таблиці 1.5 та в графіках модуля і фази

(рис. 1.12 і 1.13 відповідно).



Таблиця 1.5

k



, рад



0

0.318

-3.015



1

0.032

-4.649



2

6.741e-3

0.042



3

0.000

-4.681



4

6.751e-4

0.025



5

0.000

-4.691



6

1.929e-4

-3.015



Рис. 1.12



Рис. 1.13

1.11.Синтез вихідного сигналу.

Аналогічно пункту 1.6 проведемо синтез сигналу на виході кола. Розрахунки відобразимо в таблиці та побудуємо часовий графік.

(1.26)

Таблиця 1.6



1

2

3

4

5

6

7



0

2.584e-3

-0.049

-0.055

-0.018

-0.012

0

-0.184



9

0.020

-0.015

-0.039

-0.022

-0.021

0

-0.113



18

0.036

0.021

-7.701e-3

-0.013

-0.018

0

-7.672e-4



27

0.052

0.054

0.026

3.208e-3

-4.157e-3

0

0.132



36

0.066

0.082

0.050

0.018

0.012

0

0.254



45

0.079

0.102

0.055

0.022

0.021

0

0.333



54

0.089

0.112

0.039

0.013

0.018

0

0.351



63

0.098

0.111

7.701e-3

-3.208e-3

4.157e-3

0

0.309



72

0.104

0.0