Часть 1.

Задание: Привести функциональную и структурную схемы системы ФАПЧ. Дать краткое описание, назначение и принципа ее работы.



Система фазовой автоматической подстройки частоты (ФАПЧ)



Система ФАПЧ предназначена для стабилизации, слежения за фазой сигнала, демодуляции ФМ колебаний, также в качестве следящих фильтров изменения фазы доблевских сигналов.

Управление фазой может осуществляться с помощью фазовращателей ФАК, или путем изменения частоты гетеродина ФАПЧ.



Функциональная схема системы ФАПЧ:



Рис. 1.1

Где:

ФД - фазовый детектор (фазовый дискриминатор) – предназначен для преобразования разности фаз гармонических колебаний в напряжение;

ФНЧ – фильтр низких частот – предназначен для сглаживания колебаний и обеспечения заданной точности и устойчивости системы;

УЭ – управляющий элемент – преобразует UВХ в изменение своей реактивности (ёмкости или индуктивности);

ПГ – перестраиваемый гетеродин – изменяет свою частоту в зависимости от реактивности (от управляющего напряжения), режим при котором частота и фаза ПГ следит за частотой и фазой входного сигнала называется синхронным.

Полосой захвата системы ФАПЧ называют ту максимальную первоначальную растройку по частоте, при которой система переходит в синхронный режим.



Принцип действия ФАПЧ:



Колебания сигнала и ПГ поступают на ФД, который вырабатывает напряжение, зависящее от разности фаз этих колебаний. Пройдя через ФНЧ, входное напряжение детектора изменяет частоту колебаний ПГ. Изменение фазы колебания равно интегралу от его мгновенной частоты. Поэтому при изменении частоты колебаний ПГ меняется и их фаза. Управление частотой ПГ в системе ведётся так, что первоначальное несовпадение фаз колебаний сигнала и генератора уменьшается, и они поддерживаются близкими друг к другу.

Найдём математическое описание процесса слежения за фазой сигнала в системе ФАПЧ. Положим, что на вход ФД поступает напряжение

, представляющее собой смесь сигнала и шума. Напряжение сигнала запишем в виде

, (1.1)

где - фаза сигнала; - начальная фаза; - частота сигнала.

Напряжение подстраиваемого генератора

, (1.2)

где - фаза колебаний ПГ.

На выходе ФД формируется напряжение, зависящее от разности фаз колебаний сигнала и ПГ:

.

Если не учитывать инерционность ФД, то его выходное напряжение можно представить в виде

, (1.3)

где - математическое ожидание выходного напряжения; uation.3 HYPER14HYPER15 - флюктуационное напряжение.

Во многих случаях ФД выполняет перемножение поступающих на его вход напряжений. При этом дискриминационная характеристика имеет синусоидальную форму

, (1.4)

где - коэффициент пропорциональности.

Управляющее напряжение , снимаемое с ФНЧ, связано с напряжением

передаточной функцией .

Зависимость частоты ПГ перейти к его фазе . Этот переход описывается выражением:

(1.5)

где - начальная фаза ПГ.

Структурная схема системы ФАПЧ изображена на рисунке 1.2.

Блок 1/р отображает в этой схеме операцию интегрирования, соответствующую (1.5).



рис. 1.2.



где ((р) – внешние помехи приведенные к выходу.

((р) – внутренние ошибки приведенные к выходу.



Особенности ФАПЧ:

1. Они являются всегда астатические по отношению к текущей фазе входного сигнала.

((t)(

2. Имеют несколько состояний равновесия в следствии периодичности фазы сигнала кратным 2(.

3. Имеют узкую полосу захвата, в следствии п.2.

Для расширения полосы захвата используют АПЧ+ФАПЧ. Функциональная схема такого союза представлена на рис. 1.3



Рис. 1.3.



Где УСЧ – устройство сдвига частоты.

СМ – смеситель, предназначенный для выделения разностной частоты wС - wГ.

УПЧ – усилитель промежуточной частоты. Усиливает сигнал по амплитуде и подавляет все комбинированные частоты кроме wПР = wС – wГ.

ЧД – частотный детектор (дискриминатор) преобразует отклонение промежуточной частоты от собственной частоты настройки в напряжение.

УГ – управляющий гетеродин, частота которого изменяется от выходного напряжение ФНЧ.

Верхнее кольцо комбинационной системы грубо подстраивает частоту до полосы пропускания системы ФАПЧ, а полоса пропускания комбинационной системы равна полосе пропускания АПЧ (система автоматической подстройки частоты). Нижнее кольцо (система ФАПЧ) более точно обеспечивает перестройку гетеродина по частоте и фазе.

Часть 2.

Задание: Исследовать устойчивость линейной непрерывной системы.



2.1. Анализ устойчивости системы по Гурвицу.



Заданная система рис.2.1 имеет следующие параметры:

; ; ,

где К1 = 2; К2 = 1; К3 = 3; Т1 = 0,1; Т2 = 0,2; ( = 0,01.



1. Найдем передаточную функцию разомкнутой системы:



2. Найдем передаточную функцию замкнутой системы:



3. Запишем характеристический полином замкнутой системы:



4. Составим матрицу Гурвица:



5. Вычислим определители Гурвица:



(1 = 0,1 + 0,2 = 0,3

(2 = (1 + 6 * 0,01)0,3 – 6 * 0,1 * 0,2 = 0,198

(3 = 6(0,198) = 1,128

6. Из условия (1 > 0, (2 > 0, (3 > 0 найдем К [(T1 + T2)(1 + K() – Т1Т2К] >0

Следовательно, при К > 0 система устойчива при условии

(Т1 + Т2)(1 + К() > Т1Т2К, а при К < 0 (Т1 + Т2)(1 + К() < Т1Т2К.

(0,1 + 0,2)(1 + 6 * 0,01) > 0,1 * 0,2 * 6 т.е. 0,318 > 0,12 следовательно система устойчива.

7. Определим критический коэффициент усиления из уравнения

3 HYPER14HYPER15 отсюда



2.2. Анализ устойчивости линейной системы по Михайлову.



Необходимо исследовать устойчивость замкнутой системы (рис.2.1) и определить коэффициенты усиления и критические частоты.

Параметры системы:

; ;

К1 = 1; К2 = 3; К3 = 4; Т1 = 0,01; Т2 = 0,02; Т3 = 0,03; ( = 0,001.

1. Найдем комплексный коэффициент передачи разомкнутой и замкнутой систем и характеристический полином:

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15



где а3 = Т1Т2Т3; а3 = 0,000006;

а2 = Т1Т2 + Т1Т3 + Т2Т3; a2 = 0,0011;

а1 = Т1 +Т2 + Т3 + К(; a1 = 0,072;

а0 =1 + К; a0 = 13.

2. Определим частоты wi , на которых годограф Михайлова пересекает действительную ось из условия:

Im(w) = a1w – a3w3;

Im(w) = w(a1 – a3w2) = 0; w1 = 0; w2 = .

3. Вычислим значения реальной части G(jw) на этих частотах:

Re(w) = a0 – a2w2;

Re(w1) = a0 = 13 > 0; Re(w2) =

4. Определим частоты, на которых годограф Михайлова пересекает мнимую ось из условия Re(w) = a0 – a2w2 = 0:



5. Определим значения мнимой части на частоте w1:

>0.

Так как знаки реальной части G(jw) на частотах w1 и w2 чередуются, а мнимая часть на частоте (1 положительная, следовательно система устойчива.

6. Определим критическую частоту из условия Im(w) = w(a1 – a3w2) = 0:

.

7. Подставим значения wКР в Re{G(jw)} и решим уравнение относительно К:



2.3. Анализ устойчивости линейной системы по Найквисту.



Параметры системы:



1. Определим комплексный коэффициент передачи разомкнутой системы:



где а3 = Т1Т2; а3 = 0,0002;

а2 = Т1 + Т2; а2 = 0,03;

а1 = 1.

2. Найдем критическую частоту wКР из условия:



3. Вычислим значение реальной части Kp(jw) на этой частоте:



Так как Re{Kp(jwKP)}= - 0,04 > - 0,1 , следовательно система устойчива.

4. Подставив значение wKP в Re{Kp(jw)} и решив уравнение



относительно К, получим значение критического коэффициента усиления:



5. Вычислим запас устойчивости по амплитуде:



2.4. Анализ устойчивости ЛАЧХ и ЛФЧХ



Параметры системы:



EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

1. Определим комплексный коэффициент разомкнутой системы:

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;

где К = К1К2К3.

2. Найдем значения АЧХ и ФЧХ:

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

3. Прологарифмируем полученные выражения для получения ЛАЧХ:

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15



EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

4. По графику можно сделать следующие выводы:1

Visio.Drawing.3 
  EMBED Visio.Drawing.3 
  EMBED Visio.Drawing.3